Por Evelyn Lamb
El lunes, Harald Helfgott de la École Normale Supériure de Paris publicó una prueba de uno de los problemas abiertos más antiguos de la teoría de números en el repositorio del preprint de arxiv . La conjetura ternaría de Goldbach, como ocurre en muchas cuestiones de la teoría de números, es fácil de enunciar pero difícil de probar. Todo número impar mayor que 5 puede ser escrito como la suma de tres números primos (Los números primos no tienen factores más que ellos mismos y la unidad.). Por ejemplo 7=2+2+3 y 91=7+41+43.
La
conjetura ternaría de Goldbach es también llamada la conjetura débil de
Goldbach. La conjetura fuerte de Goldbach establece que todo número par mayor que 2 puede ser escrito
como la suma de dos números primos.
Ambas conjeturas fueron formuladas en las correspondencias entre
Christian Goldbach y Leonhard Euler en 1742, de ahí su nombre. Lógicamente, si
se prueba la conjetura fuerte de Goldbach, se obtiene la conjetura débil de
forma gratuita: si usted tiene un número
impar mayor que 5, sólo basta restar 3 a este. Ahora tiene un número par mayor que dos. Entonces, si
usted sabe que todo número par mayor que
dos es la suma de dos números primos, se puede sumar 3 (un primo) a este número
para obtener un número impar, descompuesto en la suma de tres primos.
Por
desgracia, esto no funciona de otra manera. Si usted tiene un número impar
escrito como la suma de 3 números primos y le resta uno de los primos impares, se tendrá
un número par escrito como la suma de dos números primos, pero no hay
ninguna garantía que todos los números pares se comporten de esta manera. Sin
embargo, la conjetura ternaria de Goldbach establece que todo número par puede
ser escrito como la suma de al menos 4 primos: basta restar cualquier número
primo impar (por ejemplo[1], 3
o 
) del número par que se
desea dividir, y te quedas con otro número impar, que ahora sabemos que se puede
escribir como la suma de tres primos. Esto mejora el teorema de Oliver Ramaré,
de 1995, que establece que todo número par es la suma de al menos 6 primos.
) del número par que se
desea dividir, y te quedas con otro número impar, que ahora sabemos que se puede
escribir como la suma de tres primos. Esto mejora el teorema de Oliver Ramaré,
de 1995, que establece que todo número par es la suma de al menos 6 primos.
El
resultado de Helfgott es uno grande, sin embargo tal hazaña no viene como un rayo del cielo. Su trabajo es
parte de una larga lista de artículos que emplean una técnica llamada el método
del círculo de Hardy-Littlewood-Vinogradov (catchy,
huh?). Una idea muy general del
método del círculo es que nos permite pasar de un asunto sobre un conjunto de
números, en este caso los números primos,
a otro que tiene que ver con integrales sobre círculos usando técnicas
que son propias del análisis en el plano complejo. Parece un poco milagroso que
con frecuencia es posible convertir cuestiones sobre números enteros, que son
espaciados discretamente sobre la recta numérica, en un asunto que tiene que
ver con funciones continuas. Los aspectos
de distribución de primos, o enteros, pueden ser expresados naturalmente en
términos de las propiedades de las funciones continuas definidas en términos de
estos, escribió Helfgott en un e-mail.
Una explicación más concreta del método del círculo está fuera de mi alcance
(no es por la aversión a las ecuaciones), pero si quieren investigar un poco
más sobre tal método y sus limitaciones, pueden chequear el post de
Tarence Tao.
Por
los años 1930s, el matemático ruso Iván Vinogradov estableció que la conjetura
ternaria de Goldbach satisface para todo excepto un número finitos de números
impares, de modo que si alguien sólo
verifica que los números impares están por debajo de un cierto número grande 
, todo puede estar bien. Sólo había, sin embargo, el fastidioso problema de que la cota de Vinogradov estaba
sobre el orden de 
, un número grande e
imposible para los recursos computacionales de hoy en día y mucho menos
disponible para la época de Vinogradov.
Han pasado más de 70 años y la cota superior fue reducida al orden de 
en el 2002, pero esto aún sigue siendo demasiado
grande de manipular.
, todo puede estar bien. Sólo había, sin embargo, el fastidioso problema de que la cota de Vinogradov estaba
sobre el orden de , un número grande e
imposible para los recursos computacionales de hoy en día y mucho menos
disponible para la época de Vinogradov.
Han pasado más de 70 años y la cota superior fue reducida al orden de en el 2002, pero esto aún sigue siendo demasiado
grande de manipular.
Helfgott
empezó a trabajar en la conjetura de Goldbach como postdoctorado en Montréal en
el año 2006. Estuve tratando de ver si
había algunas maneras diferentes de probar el teorema de Vinogradov, me
escribió en un e-mail. Comprendí que uno puede probar esto sin el
método del círculo; escribió,
pero no me fue posible dar una cota 
razonable
mediante las pruebas alternativas. Sin embargo,
artículos y conversaciones con otros investigadores le proporcionaron
sugerencias de cómo mejorar las cotas que provenían del método del círculo.
razonable
mediante las pruebas alternativas. Sin embargo,
artículos y conversaciones con otros investigadores le proporcionaron
sugerencias de cómo mejorar las cotas que provenían del método del círculo.
Helfgott
finalmente logró trabajar con una cota
superior por debajo de 
, un tamaño mucho más
manejable, y con David Platt de la Universidad de Bristol, verificó la conjetura
para todos los números, por debajo de esa cota, con la ayuda del computador.
Pero el pesado recurso computacional fue dedicado también para verificar la Hipótesis
Generalizada de Riemann (HGR) para un número grande pero finito de casos. La
HGR es uno de los más importantes problemas no resueltos de la matemática. Si la
HGR se resuelve, nos ayudará a comprender la distribución de los números primos
mucho mejor de lo que hacemos ahora. De hecho, si la HRG fuese probada, la
conjetura ternaria de Goldbach sería un corolario. Pero por el momento, la
verificación asistida con computadoras para chequear la HGR para ciertos
números es lo mejor que podemos hacer.
, un tamaño mucho más
manejable, y con David Platt de la Universidad de Bristol, verificó la conjetura
para todos los números, por debajo de esa cota, con la ayuda del computador.
Pero el pesado recurso computacional fue dedicado también para verificar la Hipótesis
Generalizada de Riemann (HGR) para un número grande pero finito de casos. La
HGR es uno de los más importantes problemas no resueltos de la matemática. Si la
HGR se resuelve, nos ayudará a comprender la distribución de los números primos
mucho mejor de lo que hacemos ahora. De hecho, si la HRG fuese probada, la
conjetura ternaria de Goldbach sería un corolario. Pero por el momento, la
verificación asistida con computadoras para chequear la HGR para ciertos
números es lo mejor que podemos hacer.
Por
supuesto, hacer progresos sustanciales en un problema que algunos de los más
brillantes matemáticos del siglo pasado
han trabajado no era una tarea fácil. Habían
varios callejones sin salida-en un momento tuve que tirar un manuscrito de 50
páginas, escribió Helfgott. Era
difícil decir por la mitad si el plan iba a ser verdaderamente exitoso. Después de todo, si hubiera conseguido un C bajo los 
,
aún hubiera sido mayor que el número de partículas subatómicas en el universo multiplicado por el número de
segundos desde el Big Bang- no hubiera existido ninguna posibilidad de chequear
cosas tan grandes. Helfgott escribió que el seguimiento expresamente
de las cotas fue una las más partes más difíciles del trabajo. Una cosa irritante sobre el problema fue que
resultó no ser el tipo de cosa que yo podría trabajar sobre mi cabeza mientras
estaba en el cine o en un concierto (no que yo deba). Sin
embargo conseguí algunas buenas ideas
en la ducha.
,
aún hubiera sido mayor que el número de partículas subatómicas en el universo multiplicado por el número de
segundos desde el Big Bang- no hubiera existido ninguna posibilidad de chequear
cosas tan grandes. Helfgott escribió que el seguimiento expresamente
de las cotas fue una las más partes más difíciles del trabajo. Una cosa irritante sobre el problema fue que
resultó no ser el tipo de cosa que yo podría trabajar sobre mi cabeza mientras
estaba en el cine o en un concierto (no que yo deba). Sin
embargo conseguí algunas buenas ideas
en la ducha.
El
artículo de Helfgott aún no ha sido revisado, pero los expertos en teoría de
números se muestran optimistas a que el
teorema pasará el escrutinio. Por desgracia, el resultado no proporciona mucha
iluminación sobre la conjetura fuerte de Goldbach. Terence Tao, quién demostró el
año pasado que todo número impar puede ser escrito como la suma de al menos
cinco primos, escribió en Google Plus
que “ el método del círculo es muy poco probable que sea capaz de resolver la
conjetura de Goldbach por sí mismo”. Helfgott escribió que el problema
esencialmente es de que la conjetura fuerte de Goldbach requerir estimaciones
asintóticas- más refinadas refinada a cerca de los valores de ciertas
cantidades-en los puntos clave, en lugar de los límites superiores gruesos
disponibles a través de los métodos actuales.
Le
pregunté a Helfgott cómo había celebrado su logro. Bueno, di una conferencia sobre esto ayer y luego almorzamos en la ciudad, como usualmente
ocurre cuando uno visita un lugar para dar una conferencia. Mis padres me vienen
a visitar ahora, de modo que será un buen momento para tomar un breve descanso.
Helfgott está comprensiblemente aliviado
de haber finalizado su gran proyecto y volver a su rutina normal, que también
incluye estudios no matemáticos. A veces
me enfrenté a la difícil disyuntiva de trabajar en la noche o prepararme para
un examen de ruso, escribió. Felizmente
ahora me voy a poner al día con los idiomas ahora que esto está hecho.
Helfgott tiene un dominio fluido del inglés, francés, español, alemán y esperanto,
y según su blog[4]
‘lamentablemente necesita practicar’
polaco, quechua (una lengua indígena de su país natal, Perú) y Ruso[5].
El
título de este post es una alusión a
las Variaciones de Goldberg de Bach[6].
Sólo puedo esperar que Vi Hart [7] u
otra persona con talento este escribiendo una canción sobre la conjetura de
Goldbach con la melodía del tema de las Variaciones de Goldberg. Mientras tanto,
aquí un artículo de Wired[8] del 2012 sobre una hermosa visualización de
las notas.
[1]
El artículo fue publicado el 15 de mayo del 2013 en
el blog Roots of Unity de Scientific American (http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/). Agradezco a Evelyn Lamb por permitir la traducción
de su artículo. Traducido por Rensso Chung.
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[1] http://www.newscientist.com/article/dn23138-new-17milliondigit-monster-is-largest-known-prime.html
[2] http://terrytao.wordpress.com/2012/05/20/heuristic-limitations-of-the-circle-method/
[3] https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC
[4] http://valuevar.wordpress.com/about/
[5] Esta frase fue editado después de la publicación. Helfgott me escribió para corregir la lista de los idiomas que habla. También me envió una foto más reciente de sí
mismo, que he añadido a la
parte superior del poste.
[6] http://www.youtube.com/watch?v=N2YMSt3yfko
[7] http://www.youtube.com/user/Vihart
[8] http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2012/03/play/bach-mapped
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NOTA: Bajar el texto en formato PDF que se muestra al inicio para que salga con los números y la notación exponencial.
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NOTA: Bajar el texto en formato PDF que se muestra al inicio para que salga con los números y la notación exponencial.
He demostrado que la conjetura fuerte de Goldbach es verdadera:
ResponderEliminarhttp://ciencia-y-logica-suficientes.blogspot.mx/2014/05/demostracion-formal-por-reduccion-al.html
Es una demostración a partir de lógica de primer orden y reducción al absurdo.
Saludos y gracias.
PS: Si a alguien le interesa, hay otras explicaciones de la demostración en mi blog, con la etiqueta «Conjetura de Goldbach» a la izquierda de la página web. No obstante, la demostración formal y definitiva es la que he presentado en el vínculo.