viernes, 24 de mayo de 2013

SOBRE LA CONJETURA DE GOLDBACH Y HARALD HELFGOTT


VARIACIONES DE GOLDBACH

El lunes, Harald Helfgott de la École Normale Supériure de Paris publicó una prueba de uno de los problemas abiertos más antiguos de la teoría de números en el repositorio del preprint de arxiv . La conjetura ternaría de Goldbach, como ocurre en muchas cuestiones de la teoría de números, es fácil de enunciar pero difícil de probar. Todo número impar mayor que 5 puede ser escrito como la suma de tres números primos (Los números primos no tienen factores más que ellos mismos y la unidad.). Por ejemplo 7=2+2+3 y 91=7+41+43. 




La conjetura ternaría de Goldbach es también llamada la conjetura débil de Goldbach. La conjetura fuerte de Goldbach establece que  todo número par mayor que 2 puede ser escrito como la suma de dos números primos.  Ambas conjeturas fueron formuladas en las correspondencias entre Christian Goldbach y Leonhard Euler en 1742, de ahí su nombre. Lógicamente, si se prueba la conjetura fuerte de Goldbach, se obtiene la conjetura débil de forma gratuita: si  usted tiene un número impar mayor que 5, sólo basta restar 3 a este. Ahora  tiene un número par mayor que dos. Entonces, si usted  sabe que todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos, se puede sumar 3 (un primo) a este número para obtener un número impar, descompuesto en la suma de tres primos.


Por desgracia, esto no funciona de otra manera. Si usted tiene un número impar escrito como la suma de 3 números primos y le resta  uno de los primos impares, se  tendrá  un número par escrito como la suma de dos números primos, pero no hay ninguna garantía que todos los números pares se comporten de esta manera. Sin embargo, la conjetura ternaria de Goldbach establece que todo número par puede ser escrito como la suma de al menos 4 primos: basta restar cualquier número primo impar (por ejemplo[1], 3 o ) del número par que se desea dividir, y te quedas con otro número impar, que ahora sabemos que se puede escribir como la suma de tres primos. Esto mejora el teorema de Oliver Ramaré, de 1995, que establece que todo número par es la suma de al menos 6 primos.



El resultado de Helfgott es uno grande, sin embargo tal hazaña no  viene como un rayo del cielo. Su trabajo es parte de una larga lista de artículos que emplean una técnica llamada el método del círculo de Hardy-Littlewood-Vinogradov (catchy, huh?).  Una idea muy general del método del círculo es que nos permite pasar de un asunto sobre un conjunto de números, en este caso los números primos,  a otro que tiene que ver con integrales sobre círculos usando técnicas que son propias del análisis en el plano complejo. Parece un poco milagroso que con frecuencia es posible convertir cuestiones sobre números enteros, que son espaciados discretamente sobre la recta numérica, en un asunto que tiene que ver con funciones continuas. Los aspectos de distribución de primos, o enteros, pueden ser expresados naturalmente en términos de las propiedades de las funciones continuas definidas en términos de estos, escribió Helfgott en un e-mail. Una explicación más concreta del método del círculo está fuera de mi alcance (no es por la aversión a las ecuaciones), pero si quieren investigar un poco más sobre tal método y sus limitaciones, pueden chequear el post de Tarence Tao.



Por los años 1930s, el matemático ruso Iván Vinogradov estableció que la conjetura ternaria de Goldbach satisface para todo excepto un número finitos de números impares, de modo que si alguien sólo verifica que los números impares están por debajo de un cierto número grande , todo puede estar bien.  Sólo había, sin embargo, el fastidioso  problema de que la cota de Vinogradov estaba sobre el orden de , un número grande e imposible para los recursos computacionales de hoy en día y mucho menos disponible  para la época de Vinogradov. Han pasado más de 70 años y la cota superior fue reducida al orden de  en el 2002, pero esto aún sigue siendo demasiado grande de manipular.



Helfgott empezó a trabajar en la conjetura de Goldbach como postdoctorado en Montréal en el año 2006. Estuve tratando de ver si había algunas maneras diferentes de probar el teorema de Vinogradov, me escribió en un e-mail. Comprendí que uno puede probar esto sin el método del círculo; escribió, pero no me fue posible dar una cota razonable mediante las pruebas alternativas. Sin embargo, artículos y conversaciones con otros investigadores le proporcionaron sugerencias de cómo mejorar las cotas que provenían del método del círculo.



Helfgott finalmente logró trabajar con  una cota superior por debajo de  , un tamaño mucho más manejable, y con David Platt de la Universidad de Bristol, verificó la conjetura para todos los números, por debajo de esa cota, con la ayuda del computador. Pero el pesado recurso computacional fue dedicado también para verificar la Hipótesis Generalizada de Riemann (HGR) para un número grande pero finito de casos. La HGR es uno de los más importantes problemas no resueltos de la matemática. Si la HGR se resuelve, nos ayudará a comprender la distribución de los números primos mucho mejor de lo que hacemos ahora. De hecho, si la HRG fuese probada, la conjetura ternaria de Goldbach sería un corolario. Pero por el momento, la verificación asistida con computadoras para chequear la HGR para ciertos números es lo mejor que podemos hacer.

Por supuesto, hacer progresos sustanciales en un problema que algunos de los más brillantes matemáticos  del siglo pasado han trabajado no era una tarea fácil. Habían varios callejones sin salida-en un momento tuve que tirar un manuscrito de 50 páginas, escribió Helfgott. Era difícil decir por la mitad si el plan iba a ser verdaderamente exitoso. Después de todo, si hubiera conseguido un  C bajo los , aún hubiera sido mayor que el número de partículas subatómicas  en el universo multiplicado por el número de segundos desde el Big Bang- no hubiera existido ninguna posibilidad de chequear cosas tan grandes. Helfgott escribió que el seguimiento expresamente de las cotas fue una las más partes más difíciles del trabajo. Una cosa irritante sobre el problema fue que resultó no ser el tipo de cosa que yo podría trabajar sobre mi cabeza mientras estaba en el cine o en un concierto (no que yo deba).  Sin embargo conseguí algunas buenas ideas en la ducha.



El artículo de Helfgott aún no ha sido revisado, pero los expertos en teoría de números  se muestran optimistas a que el teorema pasará el escrutinio. Por desgracia, el resultado no proporciona mucha iluminación sobre la conjetura fuerte de Goldbach. Terence Tao, quién demostró el año pasado que todo número impar puede ser escrito como la suma de al menos cinco primos, escribió en Google Plus que “ el método del círculo es muy poco probable que sea capaz de resolver la conjetura de Goldbach por sí mismo”. Helfgott escribió que el problema esencialmente es de que la conjetura fuerte de Goldbach requerir estimaciones asintóticas- más refinadas refinada a cerca de los valores de ciertas cantidades-en los puntos clave, en lugar de los límites superiores gruesos disponibles a través de los métodos actuales.



Le pregunté a Helfgott cómo había celebrado su logro. Bueno, di una conferencia sobre esto ayer y luego  almorzamos en la ciudad, como usualmente ocurre cuando uno visita un lugar para dar una conferencia. Mis padres me vienen a visitar ahora, de modo que será un buen momento para tomar un breve descanso. Helfgott está comprensiblemente aliviado  de haber finalizado su gran proyecto y volver a su rutina normal, que también incluye estudios no matemáticos. A veces me enfrenté a la difícil disyuntiva de trabajar en la noche o prepararme para un examen de ruso, escribió. Felizmente ahora me voy a poner al día con los idiomas ahora que esto está hecho. Helfgott tiene un dominio fluido del inglés, francés, español, alemán y esperanto, y según su blog[4]lamentablemente necesita practicar’ polaco, quechua (una lengua indígena de su país natal, Perú) y Ruso[5].



El título de este post es una alusión a las Variaciones de Goldberg de Bach[6]. Sólo puedo esperar  que Vi Hart [7] u otra persona con talento este escribiendo una canción sobre la conjetura de Goldbach con la melodía del tema de las Variaciones de Goldberg. Mientras tanto, aquí un artículo de Wired[8]  del 2012 sobre una hermosa visualización de las notas.



[1] El artículo fue publicado el 15 de mayo del 2013 en el blog Roots of Unity de Scientific American (http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2013/05/15/goldbach-variations/). Agradezco a Evelyn Lamb por permitir la traducción de su artículo. Traducido por Rensso Chung.
[2] Evelyn Lamb writes about mathematics and other cool stuff. Follow on Twitter @evelynjlamb.
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[1] http://www.newscientist.com/article/dn23138-new-17milliondigit-monster-is-largest-known-prime.html
[2] http://terrytao.wordpress.com/2012/05/20/heuristic-limitations-of-the-circle-method/
[3] https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC
[4] http://valuevar.wordpress.com/about/
[5] Esta frase fue editado después de la publicación. Helfgott me escribió para corregir la lista de los idiomas que habla. También me envió una foto más reciente de sí mismo, que he añadido a la parte superior del poste.
[6] http://www.youtube.com/watch?v=N2YMSt3yfko
[7] http://www.youtube.com/user/Vihart
[8] http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2012/03/play/bach-mapped
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NOTA: Bajar el texto en formato PDF que se muestra al inicio para que salga con los números y la notación exponencial.

1 comentario:

  1. He demostrado que la conjetura fuerte de Goldbach es verdadera:

    http://ciencia-y-logica-suficientes.blogspot.mx/2014/05/demostracion-formal-por-reduccion-al.html

    Es una demostración a partir de lógica de primer orden y reducción al absurdo.

    Saludos y gracias.

    PS: Si a alguien le interesa, hay otras explicaciones de la demostración en mi blog, con la etiqueta «Conjetura de Goldbach» a la izquierda de la página web. No obstante, la demostración formal y definitiva es la que he presentado en el vínculo.

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